첫 번째 시스템에는 무한히 많은 솔루션, 즉 파란색 선의 모든 점이 있습니다. 두 번째 시스템에는 두 선의 교차점과 같은 단일 고유 솔루션이 있습니다. 세 번째 시스템은 공통점을 공유하지 않으므로 솔루션이 없습니다. 방정식 시스템이 매트릭스 형식으로 표현되는 경우 X = b {디스플레이 스타일 Amathbf {x} =mathbf {b} } 전체 솔루션 집합을 매트릭스 형식으로 표현할 수도 있습니다. 매트릭스 A가 정사각형 (m 행과 n = m 열이 있음)이고 전체 순위 (모든 m 행은 독립적임)가있는 경우, 시스템은 선형 방정식의 시스템을 해결하는 세 번째 방법에 의해 주어진 고유 한 솔루션을 가지고 있습니다 추가 방법, 이 방법은 또한 제거 메타라고합니다. 최저가. 이 메서드에서는 동일한 변수를 사용 하지만 반대 계수를 사용 하 고 합계가 0되도록 두 개의 용어를 추가 합니다. 물론 모든 시스템이 반대 계수를 갖는 하나의 변수의 두 용어로 설정되는 것은 아닙니다. 종종 하나의 변수가 추가로 제거되도록 방정식 중 하나 또는 둘 다를 곱셈으로 조정해야 합니다. 일관된 시스템은 시스템의 모든 방정식에 대한 단일 솔루션이 있고 독립적 인 시스템인 경우 또는 무한한 수의 솔루션이 있고 종속 시스템이 세 가지 변수 x에서 세 방정식의 시스템인 경우 , y, z.

선형 시스템에 대한 해는 모든 방정식이 동시에 충족되도록 변수에 값을 할당하는 것입니다. 위의 시스템에 대한 해결책은 시스템에 의해 주어진 방정식 H (x (x)) ) = y에 의해 정의됩니다 . 주어진 y ( t) {디스플레이 스타일 y (t)} 및 H {디스플레이 스타일 H} , x ( t) {displaystyle x(t)}를 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 간단한 고조파 발진기는 미분 방정식을 준수 : 시스템에 대한 솔루션은 정렬 된 쌍 [라텍스]왼쪽 (-3,-2오른쪽)[/라텍스], 그래서 시스템은 독립적이다. 일반적으로 선형 시스템의 동작은 방정식 수와 미확인 수 간의 관계에 의해 결정됩니다. 여기서, “일반적으로”는 수식계수의 특정 값에 대해 다른 동작이 발생할 수 있음을 의미한다. 말도 안되는 행 (예 : “0 = 1”)을 얻자마자 이것이 일관성없는 시스템이라는 것을 알고 있으며 종료 할 수 있습니다. 이산 시간 선형 시스템의 출력은 시간 변화 컨볼루션 합계에 의한 입력과 관련이 있습니다. 그래서, 이것은 우리가 위에서 본 첫 번째 시스템. 우리는 이미 해결책을 알고 있지만, 이것은 우리가 솔루션에 대해 적어 본 가치를 확인할 수있는 기회를 제공 할 것입니다. Cramer의 규칙은 선형 방정식 시스템의 솔루션에 대한 명시적 수식이며, 각 변수는 두 개의 결정요인의 몫에 의해 제공됩니다.

예를 들어, 시스템에 대한 솔루션 So, (x = 0) 및 (y = – frac{1}{5})는 시스템에 대한 솔루션입니다. 의 또 다른 진짜 빠른 할 수 있습니다. 세 변수의 경우 각 선형 방정식은 3차원 공간에서 평면을 결정하고 솔루션 세트는 이러한 평면의 교차점입니다. 따라서 솔루션 세트는 평면, 선, 단일 점 또는 빈 세트일 수 있다. 예를 들어 세 개의 평행 평면에 공통점이 없기 때문에 방정식의 솔루션 세트는 비어 있습니다. 한 점에서 교차하는 세 평면의 방정식의 해세트는 단일 점입니다. 세 개의 평면이 두 점을 통과하는 경우 방정식에는 두 개 이상의 공통 솔루션이 있습니다. 실제로 솔루션 집합은 무한하며 이러한 점을 통과하는 모든 선으로 구성됩니다.

[1] 선형 시스템은 경사가 같지만 y-교차선이 다른 평행선을 구성하므로 선이 교차하지 않으므로 솔루션이 없습니다.